Главная / Библиотека / Распространение Гауссова пучка

Распространение Гауссова пучка

Распространение Гауссова пучка

Гауссов пучок

В различных приложениях лазерной оптики при описании пучка излучения используют идеальное приближение, известное как Гауссов пучок. Интенсивность в таком пучке распределена по закону Гаусса. Реальное излучение нельзя считать полностью Гауссовым из-за отклонений (в реальном источнике присутствует ограничение по дифракции), поэтому вводится специальный параметр – качество пучка или фактор пучка M2. Средствами математической статистики этот фактор измеряется, а затем указывается в паспорте излучающего прибора.

Гауссово распределение симметрично убывает по мере удаления от центра пятна (центра интенсивности, проиллюстрировано на рис. 1). Формула распределения:

1_24.png           (1)

 

где I0 - пиковая интенсивность в центре пучка, r - радиальное расстояние от оси, w(z) - радиус лазерного пучка по уровню интенсивности 1/exp(2) (13.5%) от I0, z - расстояние от плоскости, на котором фронт волны можно считать плоским, P - полная мощность излучения.

gaussian-beam-propagation-fig-1
Рисунок 1. Вид пятна сфокусированного пучка лазерного пучка,перетяжкой пучка называется минимальный диаметр пучка, интенсивность в пределах которого составляет не ниже 13.5% максимального значения

Профиль интенсивности не остается постоянным при распространении пучка в пространстве, следовательно, есть зависимость перетяжки (минимального диаметра) w(z) от траектории распространения z. Из-за дифракции Гауссов пучок будет уменьшаться и увеличиваться в диаметре.

Пучок сходится и расходится одинаково по обе стороны от диаметра перетяжки пучка на угол расходимости θ (рис. 2). Диаметр перетяжки пучка и угол расходимости отсчитываются от основной оси z, их связь показана уравнениями (2) и (3):

2_20.png         (2)


3_15.png           (3)

 

В приведенных выше уравнениях λ - длина волны лазерного излучения, а θ - приближение дальнего поля. По этим уравнениям из-за приближения дальнего поля расходимость пучка вблизи перетяжки рассчитывается с высокой погрешностью, но с увеличением расстояния от перетяжки ее можно снизить.

Как видно из уравнения (3), малый диаметр перетяжки приведет к большему углу расходимости, в то время как большой диаметр перетяжки пучка - к меньшему углу расходимости (в результате образуется более параллельный или коллимированный пучок). Это объясняет причину, по которой расширители лазерных пучков снижают расходимость.

gaussian-beam-propagation-fig-2v2
Рисунок 2. Гауссов пучок и основные параметры, применяемые для его описания: диаметр перетяжки пучка w
0, рэлеевская длина перетяжки zR, угол расходимости θ

Изменение минимального диаметра пучка определяется как:

4_9.png         (4)

 

5_5.png          (5)

 


Рэлеевская длина перетяжки определяется как разность между координатами распространения, где площадь поперечного сечения пучка удваивается. Другими словами, когда диаметр перетяжки w(z) увеличивается в √2 раз. Используя уравнение (5), длину перетяжки zR можно выразить как:

6_4.png           (6)

 

Тогда для диаметра перетяжки w(z) можно вывести следующее:

7_3.png          (7)

 


Волновой фронт излучения считается плоским в месте перетяжки пучка и квазиплоским в области бесконечно удаленной от перетяжки. Близ перетяжки радиус кривизны волнового фронта приближается к бесконечности, по мере удаления от перетяжки снова уменьшается до минимального значения.

Минимум радиуса кривизны приходится на длину Рэлея. Далее радиус кривизны снова увеличивается, а на бесконечности вновь считается плоским. Это верно для любого направления от перетяжки пучка.

gaussian-beam-propagation-fig-3
Рисунок 3. Кривизна волнового фронта Гауссова пучка стремится к нулю как в положении, близком к области перетяжки, так и на дальнем расстоянии от нее

Манипуляции с Гауссовыми пучками

Зачастую в лазерной оптической системе требуется произвести некоторые манипуляции с излучением, отфильтровать, коллимировать или сфокусировать пучок. Конечно, для этого применяются различные оптические компоненты – линзы, пластины, призмы, зеркала, и т. д. Ниже приведены самые распространенные схемы включения оптики в оптический путь и основные формулы для расчета.

Уравнение тонкой линзы

Идеальная тонкая линза описывается известным уравнением геометрической оптики:

8_4.png         (8)

 

В уравнении (8) s'- расстояние от линзы до изображения, s - расстояние от линзы до объекта, а f - фокусное расстояние линзы. Если объект и изображение находятся на противоположных сторонах объектива, перед s ставится знак «-», а расстояние s' остается положительным. Это уравнение не учитывает толщину реальной линзы и поэтому является лишь упрощенным приближением реальной линзы (рис. 4). Уравнение тонкой линзы также можно записать в безразмерной форме, умножив обе части уравнения на f:

9_2.png        (9)

 

или:

10_3.png          (10)

 

 

gaussian-beam-propagation-fig-4
Рисунок 4. Тонкая линза: положение изображения легко определить при известном фокусном расстоянии и расстоянии от линзы до объекта

В дополнение к задаче отыскания положения изображения уравнение тонкой линзы применяется в задачах, связанных с фокусировкой Гауссова пучка. В таких задачах перетяжка входного пучка принимается в качестве объекта, а перетяжка выходного пучка - за изображение.

Как известно, Гауссовы пучки сохраняют профиль интенсивности после прохождения через идеальную линзу без аберраций. В 1983 году Сидни Селф записал уравнение тонкой линзы с учетом уравнения Гауссова пучка:

11_2.png          (11)

 

 

Общее расстояние от лазера до диаметра перетяжки рассчитывается путем прибавления абсолютного значения s к s'. Уравнение (11) также можно записать в безразмерной форме, умножив обе стороны на f:

12.png           (12)

 

 

 

 

Это уравнение превращается в «привычное» уравнению тонкой линзы, когда соотношение zR/f приближается к 0. Так, стандартное уравнение для тонких линз применимо для объективов с большим фокусным расстоянием. Уравнения (11) и (12) можно использовать для определения местоположения перетяжки пучка после того, как получено изображение (рис. 5).

gaussian-beam-propagation-fig-5|
Рисунок 5. Вид «изображения» и «объекта» при прохождении Гауссова пучка через тонкую линзу

График нормированного расстояния до изображения s'/f в зависимости от нормированного расстояния до объекта s/f показывает возможные местоположения перетяжки выходного пучка в данном нормированном диапазоне Рэлея zR/f) (рис. 6). График показывает, что Гауссовы пучки, сфокусированные тонкой линзой, имеют несколько ключевых отличий по сравнению с обычными изображениями в тонких линзах.

При рассмотрении графиков преломления Гауссова пучка в тонкой линзе можно заметить, что есть как минимальное, так и максимально возможное расстояние до изображения. При рассмотрении предметов и изображений в тонкой линзе такой параметр отсутствует. Максимальное расстояние до изображения Гауссова пучка (расстояние от линзы до диаметра перетяжки выходного пучка) достигается на расстоянии объекта, равном – (f + zR), а не на – f.

Точка на графике, где s/f равно – 1, а s'/f равно 1, указывает на то, что перетяжка выходного пучка будет находиться в заднем фокусе линзы, если входное излучение подается в передней фокальной плоскости положительной линзы.

gaussian-beam-propagation-fig-6

Рисунок 6. На графиках нормированных функций показано минимальное и максимальное расстояние до изображения, обусловленное наличием рэлеевской длины перетяжки

Чтобы определить положение перетяжки пучка и длину Рэлея после прохождения пучка через линзу, необходимо знать увеличение системы α, определяемое как:

13.png         (13)

 

 

где w0 - перетяжка пучка перед линзой, а w0' - перетяжка пучка после прохождения через линзу. Уравнение тонкой линзы для Гауссовых пучков можно переписать с учетом диапазона Рэлея выходного пучка zR':

14.png          (14) 

 

 

Вышеупомянутое уравнение нарушится, если линзу расположить на координате, совпадающей с положением перетяжки пучка (s = 0).

Обратное значение квадрата постоянной увеличения можно использовать для определения соотношения размеров и координат перетяжки пучка:

 15.png         (15)

 

 

Фокусировка Гауссова пучка в пятно

Во многих приложениях, например, в лазерной обработке материалов, медицине, очень важно фокусировать лазерный пучок в пятно минимально возможного радиуса, чтобы максимизировать интенсивность и минимизировать площадь нагрева. В таких приложениях цель состоит в том, чтобы минимизировать радиус перетяжки пучка на выходе w0' (рис. 7). Тогда несколько видоизмененное уравнение (15) можно применить для вычисления необходимого диаметра перетяжки:

16.png             (16)

 

 

 

gaussian-beam-propagation-fig-7
Рисунок 7. Фокусировка пучка лазерного излучения в пятно минимально возможных размеров, например, в приложениях лазерной сварки и маркировки

После умножения обеих сторон сначала на знаменатель левой части, а затем на (w0')2, уравнение (16) принимает вид:

17.png        (17)


 

18.png         (18)

 

Решение относительно диаметра перетяжки:

19.png       (19)

 

20.png         (20)
 

 

Перетяжку сфокусированного пучка можно снизить, уменьшив фокусное расстояние объектива, и, следовательно, величину (|s| – f). Переменная в уравнении (20) - другая форма константы увеличения α, высчитывается для сравнения размеров изображения входного пучка с изображением выходного после прохождения через линзу (рис. 8).

21.png       (21)

 

22.png     (22)

 

 

23.png         (23)

 

gaussian-beam-propagation-fig-8
Рисунок 8. В случае двукратного увеличения перетяжка выходного пучка будет в два раза превышать перетяжку входного, это же верно и для угла расходимости пучка

Существуют два предельных случая, которые еще более упрощают расчеты размера и местоположения перетяжки выходного пучка:

  1. Когда s намного меньше zR или намного больше zR;
  2. Когда линза находится в пределах длины Рэлея, тогда s << zR и (|s| – f)zR2.

В первом предельном случае уравнение (20) упрощается до:

24.png       (24)

 

Это также облегчает вычисления диаметра перетяжки выходного пучка, угла расходимости, длины Рэлея и положения перетяжки:

25.png       (25)

 

26.png         (26)

 

27.png           (27)

28.png        (28)

 

В случае, когда s >> zR, расстояние от объектива до сфокусированного пятна равно фокусному расстоянию объектива.

При другом предельном случае, когда линза находится далеко от диапазона Рэлея и s >> zR, уравнение (20) принимает вид:

29.png         (29)

 

Диаметр перетяжки выходного пучка рассчитывается по формуле:

30.png       (30)

 

Аналогичные упрощения формул расчета, когда s << zR:

31.png        (31)

 

32.png         (32)

 

33.png         (33)

 

34.png         (34) 

 

 

Нетрудно видеть, что при s >> zR, расстояние от линзы до фокального пятна равно фокусному расстоянию объектива.

Оба эти результата интуитивно понятны, поскольку волновой фронт принят почти плоским как на ближнем расстоянии от перетяжки, так и на бесконечном удалении от него. В этих местах пучок почти полностью коллимирован (рис. 9). В соответствии с известным уравнением для тонких линз параллельный входной пучок будет создавать изображение на расстоянии, равном фокусному расстоянию линзы.

gaussian-beam-propagation-fig-9
Рисунок 9. Фокусировка лазерного пучка в пятно при прохождении через тонкую линзу: пятно находится в фокальной плоскости линзы, если линзу расположить: а) близ перетяжки пучка, б) на бесконечности от минимального диаметра

Смещение фокуса

Если перетяжка совпадает с плоскостью цели, то наблюдается совершенно обратная ситуация. В таком случае интенсивность сфокусированного пучка на цели, расположенной на фиксированном расстоянии L от линзы не растет.

Интенсивность фокального пятна на цели максимальна, когда от перетяжки до плоскости объекта есть некоторое расстояние (рис. 10). Это явление называется смещением фокуса.

gaussian-beam-propagation-fig-10
Рисунок 10. Наибольшая интенсивность пятна излучения на цели достигается, когда перетяжка сфокусированного пучка находится в определенном месте перед мишенью, но не совпадает с плоскостью цели

Опуская вывод формул, радиус пятна излучения на цели можно описать следующим выражением:

35.png          (35)

 

Дифференцируя уравнение (35) относительно фокусного расстояния линзы f и решая дифференциальное уравнение относительно f, найдем частное решение при условии равенства производной функции wL(f) по f нулю. Это показывает фокусное расстояние линзы, которое необходимо для достижения минимального радиуса пучка и, следовательно, максимальной интенсивности при падении на цель.

36.png         (36)


 

37_0.png          (37)

 


 

 

При |s|, стремящемся к нулю или бесконечности, производная по f функции wL(f) равна 0, когда f = L. В обоих этих случаях входной пучок практически параллельный, из чего следует, что наименьший радиус пучка будет располагаться в фокусе линзы.

Коллимация Гауссова пучка

В реальности получить полностью параллельный пучок невозможно, так как невозможно добиться нулевой расходимости, поэтому на практике используют «практически параллельные» пучки лучей. Либо сводится к минимуму расхождение, либо увеличивается расстояние между точкой наблюдения и ближайшей перетяжкой пучка. Поскольку расходимость выходного пучка обратно пропорциональна константе увеличения α, выходная расходимость минимальна, когда |s| = f (рис. 11).

gaussian-beam-propagation-fig-11
Рисунок 11. Чтобы преобразовать Гауссов пучок в параллельный, расстояние от перетяжки до коллимирующей линзы должно равняться фокусному расстоянию

 

© Edmund Optics Inc.

Компания INSCIENCE помогает своим заказчикам решать любые вопросы и потребности по продукции Edmund Optics на территории РФ

 

Последние статьи
Терагерцовые спектрометры и спектральные комплексы Rainbow Photonics

TeraSys - ULTRA для терагерцовой спектроскопии и имиджинга.  TeraSys12 для генерации широкополосного терагерцового излучения (до 12 ТГц) путем электрооптического выпрямления импульсов. TeraSys - AiO для генерации импульсов шириной 20 ТГц. TeraIMAGE для передачи и терагерцового имиджинга...

Avantes для спектроскопии в ИК, УФ и видимом диапазоне

Постоянная линейка AvaSpec - это полноценные измерительные системы нового поколения. Каждый спектрометр может использоваться как спектрофотометр, спектрофлуориметр, фотоколориметр, радиометр, фотометр, денситометр, рефлектометр, флуориметр, нефелометр, люминометр, спектрорадиометр и оксиметр. В обзоре - самые популярные и функциональные модели Avantes.

CO2 и эксимерные лазеры

В статье описаны преимущества и недостатки CO2 и эксимерного лазеров, дана краткая сравнительная характеристика.

Лазерная обработка излучением с длиной волны 2 мкм

Лазерные источники стали неотъемлемой частью обработки материалов и поверхностей в промышленных приложениях. Мощное, когерентное и узкополосное излучение лазерного источника позволяет достичь невероятной точности при обработке любых поверхностей – от прочнейших металлов до тонкого пластика...

Оптика: теоретические основы

Оптика – это раздел физики, в котором изучается природа световой волны. Среди множества задач, решением которых занимается современная наука, есть как хорошо известные, так и редко упоминаемые темы: от привычных законов преломления и отражения света до анализа взаимодействия между несколькими отражающими покрытиями...

Преобразование пучка для голографических приложений

Голография – одна из иллюстраций явления интерферометрии. Как интерферометрические, как и голографические методы имеют собственную специфику, и однородность пучков – важнейшее условие получения качественной визуализации...

У Вас особенный запрос?
У Вас особенный запрос?
Весьма часто наши заказчики лучше нас знают, какое оборудование им нужно. В этом случае мы берём на себя общение с производителем, доставку и таможенную очистку, а также все вопросы гарантийного периода. Пожалуйста, заполните эту форму, и мы свяжемся с Вами, чтобы помочь решить любую Вашу задачу. Или позвоните нам по телефону +7(495)199-0-199
Форма заявки
Ваше имя: *
Ваше имя
Ваш e-mail: *
Ваш телефон: *
Ваш телефон
Наши
контакты
г. Москва, ул. Бутлерова, д. 17Б, офис 502

г. Санкт-Петербург, Коломяжский проспект, 33 корпус 2