Главная / Библиотека / Распространение Гауссова пучка: понятие перетяжки пучка, глубины фокусировки, качества пучка, расходимости

Распространение Гауссова пучка: понятие перетяжки пучка, глубины фокусировки, качества пучка, расходимости

Распространение Гауссова пучка: понятие перетяжки пучка, глубины фокусировки, качества пучка, расходимости

Гауссов пучок

В различных приложениях лазерной оптики при описании пучка излучения используют идеальное приближение, известное как Гауссов пучок. Интенсивность в таком пучке распределена по закону Гаусса. Реальное излучение нельзя считать полностью Гауссовым из-за отклонений (в реальном источнике присутствует ограничение по дифракции), поэтому вводится специальный параметр – качество пучка или фактор пучка M2. Средствами математической статистики этот фактор измеряется, а затем указывается в паспорте излучающего прибора.

Гауссово распределение симметрично убывает по мере удаления от центра пятна (центра интенсивности, проиллюстрировано на рис. 1). Формула распределения:

1_24.png           (1)

 

где I0 - пиковая интенсивность в центре пучка, r - радиальное расстояние от оси, w(z) - радиус лазерного пучка по уровню интенсивности 1/exp(2) (13.5%) от I0, z - расстояние от плоскости, на котором фронт волны можно считать плоским, P - полная мощность излучения.

gaussian-beam-propagation-fig-1
Рисунок 1. Вид пятна сфокусированного пучка лазерного пучка,перетяжкой пучка называется минимальный диаметр пучка, интенсивность в пределах которого составляет не ниже 13.5% максимального значения

Профиль интенсивности не остается постоянным при распространении пучка в пространстве, следовательно, есть зависимость перетяжки (минимального диаметра) w(z) от траектории распространения z. Из-за дифракции Гауссов пучок будет уменьшаться и увеличиваться в диаметре.

Пучок сходится и расходится одинаково по обе стороны от диаметра перетяжки пучка на угол расходимости θ (рис. 2). Диаметр перетяжки пучка и угол расходимости отсчитываются от основной оси z, их связь показана уравнениями (2) и (3):

2_20.png         (2)


3_15.png           (3)

 

В приведенных выше уравнениях λ - длина волны лазерного излучения, а θ - приближение дальнего поля. По этим уравнениям из-за приближения дальнего поля расходимость пучка вблизи перетяжки рассчитывается с высокой погрешностью, но с увеличением расстояния от перетяжки ее можно снизить.

Как видно из уравнения (3), малый диаметр перетяжки приведет к большему углу расходимости, в то время как большой диаметр перетяжки пучка - к меньшему углу расходимости (в результате образуется более параллельный или коллимированный пучок). Это объясняет причину, по которой расширители лазерных пучков снижают расходимость.

gaussian-beam-propagation-fig-2v2
Рисунок 2. Гауссов пучок и основные параметры, применяемые для его описания: диаметр перетяжки пучка w
0, рэлеевская длина перетяжки zR, угол расходимости θ

Изменение минимального диаметра пучка определяется как:

4_9.png         (4)

 

5_5.png          (5)

 


Рэлеевская длина перетяжки определяется как разность между координатами распространения, где площадь поперечного сечения пучка удваивается. Другими словами, когда диаметр перетяжки w(z) увеличивается в √2 раз. Используя уравнение (5), длину перетяжки zR можно выразить как:

6_4.png           (6)

 

Тогда для диаметра перетяжки w(z) можно вывести следующее:

7_3.png          (7)

 


Волновой фронт излучения считается плоским в месте перетяжки пучка и квазиплоским в области бесконечно удаленной от перетяжки. Близ перетяжки радиус кривизны волнового фронта приближается к бесконечности, по мере удаления от перетяжки снова уменьшается до минимального значения.

Минимум радиуса кривизны приходится на длину Рэлея. Далее радиус кривизны снова увеличивается, а на бесконечности вновь считается плоским. Это верно для любого направления от перетяжки пучка.

gaussian-beam-propagation-fig-3
Рисунок 3. Кривизна волнового фронта Гауссова пучка стремится к нулю как в положении, близком к области перетяжки, так и на дальнем расстоянии от нее

Манипуляции с Гауссовыми пучками

Зачастую в лазерной оптической системе требуется произвести некоторые манипуляции с излучением, отфильтровать, коллимировать или сфокусировать пучок. Конечно, для этого применяются различные оптические компоненты – линзы, пластины, призмы, зеркала, и т. д. Ниже приведены самые распространенные схемы включения оптики в оптический путь и основные формулы для расчета.

Уравнение тонкой линзы

Идеальная тонкая линза описывается известным уравнением геометрической оптики:

8_4.png         (8)

 

В уравнении (8) s'- расстояние от линзы до изображения, s - расстояние от линзы до объекта, а f - фокусное расстояние линзы. Если объект и изображение находятся на противоположных сторонах объектива, перед s ставится знак «-», а расстояние s' остается положительным. Это уравнение не учитывает толщину реальной линзы и поэтому является лишь упрощенным приближением реальной линзы (рис. 4). Уравнение тонкой линзы также можно записать в безразмерной форме, умножив обе части уравнения на f:

9_2.png        (9)

 

или:

10_3.png          (10)

 

 

gaussian-beam-propagation-fig-4
Рисунок 4. Тонкая линза: положение изображения легко определить при известном фокусном расстоянии и расстоянии от линзы до объекта

В дополнение к задаче отыскания положения изображения уравнение тонкой линзы применяется в задачах, связанных с фокусировкой Гауссова пучка. В таких задачах перетяжка входного пучка принимается в качестве объекта, а перетяжка выходного пучка - за изображение.

Как известно, Гауссовы пучки сохраняют профиль интенсивности после прохождения через идеальную линзу без аберраций. В 1983 году Сидни Селф записал уравнение тонкой линзы с учетом уравнения Гауссова пучка:

11_2.png          (11)

 

 

Общее расстояние от лазера до диаметра перетяжки рассчитывается путем прибавления абсолютного значения s к s'. Уравнение (11) также можно записать в безразмерной форме, умножив обе стороны на f:

12.png           (12)

 

 

 

 

Это уравнение превращается в «привычное» уравнению тонкой линзы, когда соотношение zR/f приближается к 0. Так, стандартное уравнение для тонких линз применимо для объективов с большим фокусным расстоянием. Уравнения (11) и (12) можно использовать для определения местоположения перетяжки пучка после того, как получено изображение (рис. 5).

gaussian-beam-propagation-fig-5|
Рисунок 5. Вид «изображения» и «объекта» при прохождении Гауссова пучка через тонкую линзу

График нормированного расстояния до изображения s'/f в зависимости от нормированного расстояния до объекта s/f показывает возможные местоположения перетяжки выходного пучка в данном нормированном диапазоне Рэлея zR/f) (рис. 6). График показывает, что Гауссовы пучки, сфокусированные тонкой линзой, имеют несколько ключевых отличий по сравнению с обычными изображениями в тонких линзах.

При рассмотрении графиков преломления Гауссова пучка в тонкой линзе можно заметить, что есть как минимальное, так и максимально возможное расстояние до изображения. При рассмотрении предметов и изображений в тонкой линзе такой параметр отсутствует. Максимальное расстояние до изображения Гауссова пучка (расстояние от линзы до диаметра перетяжки выходного пучка) достигается на расстоянии объекта, равном – (f + zR), а не на – f.

Точка на графике, где s/f равно – 1, а s'/f равно 1, указывает на то, что перетяжка выходного пучка будет находиться в заднем фокусе линзы, если входное излучение подается в передней фокальной плоскости положительной линзы.

gaussian-beam-propagation-fig-6

Рисунок 6. На графиках нормированных функций показано минимальное и максимальное расстояние до изображения, обусловленное наличием рэлеевской длины перетяжки

Чтобы определить положение перетяжки пучка и длину Рэлея после прохождения пучка через линзу, необходимо знать увеличение системы α, определяемое как:

13.png         (13)

 

 

где w0 - перетяжка пучка перед линзой, а w0' - перетяжка пучка после прохождения через линзу. Уравнение тонкой линзы для Гауссовых пучков можно переписать с учетом диапазона Рэлея выходного пучка zR':

14.png          (14) 

 

 

Вышеупомянутое уравнение нарушится, если линзу расположить на координате, совпадающей с положением перетяжки пучка (s = 0).

Обратное значение квадрата постоянной увеличения можно использовать для определения соотношения размеров и координат перетяжки пучка:

 15.png         (15)

 

 

Фокусировка Гауссова пучка в пятно

Во многих приложениях, например, в лазерной обработке материалов, медицине, очень важно фокусировать лазерный пучок в пятно минимально возможного радиуса, чтобы максимизировать интенсивность и минимизировать площадь нагрева. В таких приложениях цель состоит в том, чтобы минимизировать радиус перетяжки пучка на выходе w0' (рис. 7). Тогда несколько видоизмененное уравнение (15) можно применить для вычисления необходимого диаметра перетяжки:

16.png             (16)

 

 

 

gaussian-beam-propagation-fig-7
Рисунок 7. Фокусировка пучка лазерного излучения в пятно минимально возможных размеров, например, в приложениях лазерной сварки и маркировки

После умножения обеих сторон сначала на знаменатель левой части, а затем на (w0')2, уравнение (16) принимает вид:

17.png        (17)


 

18.png         (18)

 

Решение относительно диаметра перетяжки:

19.png       (19)

 

20.png         (20)
 

 

Перетяжку сфокусированного пучка можно снизить, уменьшив фокусное расстояние объектива, и, следовательно, величину (|s| – f). Переменная в уравнении (20) - другая форма константы увеличения α, высчитывается для сравнения размеров изображения входного пучка с изображением выходного после прохождения через линзу (рис. 8).

21.png       (21)

 

22.png     (22)

 

 

23.png         (23)

 

gaussian-beam-propagation-fig-8
Рисунок 8. В случае двукратного увеличения перетяжка выходного пучка будет в два раза превышать перетяжку входного, это же верно и для угла расходимости пучка

Существуют два предельных случая, которые еще более упрощают расчеты размера и местоположения перетяжки выходного пучка:

  1. Когда s намного меньше zR или намного больше zR;
  2. Когда линза находится в пределах длины Рэлея, тогда s << zR и (|s| – f)zR2.

В первом предельном случае уравнение (20) упрощается до:

24.png       (24)

 

Это также облегчает вычисления диаметра перетяжки выходного пучка, угла расходимости, длины Рэлея и положения перетяжки:

25.png       (25)

 

26.png         (26)

 

27.png           (27)

28.png        (28)

 

В случае, когда s >> zR, расстояние от объектива до сфокусированного пятна равно фокусному расстоянию объектива.

При другом предельном случае, когда линза находится далеко от диапазона Рэлея и s >> zR, уравнение (20) принимает вид:

29.png         (29)

 

Диаметр перетяжки выходного пучка рассчитывается по формуле:

30.png       (30)

 

Аналогичные упрощения формул расчета, когда s << zR:

31.png        (31)

 

32.png         (32)

 

33.png         (33)

 

34.png         (34) 

 

 

Нетрудно видеть, что при s >> zR, расстояние от линзы до фокального пятна равно фокусному расстоянию объектива.

Оба эти результата интуитивно понятны, поскольку волновой фронт принят почти плоским как на ближнем расстоянии от перетяжки, так и на бесконечном удалении от него. В этих местах пучок почти полностью коллимирован (рис. 9). В соответствии с известным уравнением для тонких линз параллельный входной пучок будет создавать изображение на расстоянии, равном фокусному расстоянию линзы.

gaussian-beam-propagation-fig-9
Рисунок 9. Фокусировка лазерного пучка в пятно при прохождении через тонкую линзу: пятно находится в фокальной плоскости линзы, если линзу расположить: а) близ перетяжки пучка, б) на бесконечности от минимального диаметра

Смещение фокуса

Если перетяжка совпадает с плоскостью цели, то наблюдается совершенно обратная ситуация. В таком случае интенсивность сфокусированного пучка на цели, расположенной на фиксированном расстоянии L от линзы не растет.

Интенсивность фокального пятна на цели максимальна, когда от перетяжки до плоскости объекта есть некоторое расстояние (рис. 10). Это явление называется смещением фокуса.

gaussian-beam-propagation-fig-10
Рисунок 10. Наибольшая интенсивность пятна излучения на цели достигается, когда перетяжка сфокусированного пучка находится в определенном месте перед мишенью, но не совпадает с плоскостью цели

Опуская вывод формул, радиус пятна излучения на цели можно описать следующим выражением:

35.png          (35)

 

Дифференцируя уравнение (35) относительно фокусного расстояния линзы f и решая дифференциальное уравнение относительно f, найдем частное решение при условии равенства производной функции wL(f) по f нулю. Это показывает фокусное расстояние линзы, которое необходимо для достижения минимального радиуса пучка и, следовательно, максимальной интенсивности при падении на цель.

36.png         (36)


 

37_0.png          (37)

 


 

 

При |s|, стремящемся к нулю или бесконечности, производная по f функции wL(f) равна 0, когда f = L. В обоих этих случаях входной пучок практически параллельный, из чего следует, что наименьший радиус пучка будет располагаться в фокусе линзы.

Коллимация Гауссова пучка

В реальности получить полностью параллельный пучок невозможно, так как невозможно добиться нулевой расходимости, поэтому на практике используют «практически параллельные» пучки лучей. Либо сводится к минимуму расхождение, либо увеличивается расстояние между точкой наблюдения и ближайшей перетяжкой пучка. Поскольку расходимость выходного пучка обратно пропорциональна константе увеличения α, выходная расходимость минимальна, когда |s| = f (рис. 11).

gaussian-beam-propagation-fig-11
Рисунок 11. Чтобы преобразовать Гауссов пучок в параллельный, расстояние от перетяжки до коллимирующей линзы должно равняться фокусному расстоянию

 

© Edmund Optics Inc.

Компания INSCIENCE помогает своим заказчикам решать любые вопросы и потребности по продукции Edmund Optics на территории РФ

 

 

 

Новые статьи
Измерение спектров флуоресценции Avantes

Флуоресцентная спектроскопия (т.н. флуорометрия или спектрофлуориметрия), представляет собой тип электромагнитной спектроскопии, при которой анализируется флуоресценция образца.

Применение дифракционных оптических элементов в преобразовании распределения интенсивности лазерного пучка

В статье изложены принципы работы и примеры использования современной дифракционной оптики: гомогенизаторов, светоделителей, формирователей профиля интенсивности.

Бриллюэновская спектроскопия

Высокая контрастность и подавление волн накачки в спектрометре LightMachinery HF-8999-532 позволили наблюдать отчетливый спектр Бриллюэна.

У Вас особенный запрос?
У Вас особенный запрос?
Весьма часто наши заказчики лучше нас знают, какое оборудование им нужно. В этом случае мы берём на себя общение с производителем, доставку и таможенную очистку, а также все вопросы гарантийного периода. Пожалуйста, заполните эту форму, и мы свяжемся с Вами, чтобы помочь решить любую Вашу задачу. Или позвоните нам по телефону +7(495)199-0-199
Форма заявки
Ваше имя: *
Ваше имя
Ваш e-mail: *
Ваш телефон: *
Ваш телефон
Наши
контакты
г. Москва, ул. Бутлерова, д. 17Б, офис 502

г. Санкт-Петербург, Коломяжский проспект, 33 корпус 2